Lineaarne kontiinuum

Lineaarne kontiinuum on rohkem kui ühest elemendist koosnev lineaarselt järjestatud hulk, mille järjestus on tihe (st iga kahe elemendi vahel on kolmas element) ja millel on supreemumiomadus (st igal mittetühjal alamhulgal, millel on ülemtõke, on ülemraja (vähim ülemtõke)).

Lineaarse kontiinuumi prototüüp on reaalsirge. Lineaarne kontiinuum võib olla ka mõlemalt poolt tõkestatud, nagu mis tahes lõik reaalsirgel.

Topoloogias kontrollitakse lineaarse kontiinuumi mõiste abil, kas järjestatud hulk on järjestustopoloogia suhtes sidus.

Näited

• Reaalsirge on lineaarne kontiinuum. Supreemumiomadus järeldub täielikkuse aksioomist.
• Kõik reaalsirgega järjestusisomorfsed järjestatud hulgad, sealhulgas vahemikud reaalsirgel.
• Laiendatud reaalsirge ja sellega järjestusisomorfsed järjestatud hulgad, näiteks ühiklõik.
• Reaalsirge, mida on laiendatud ainult +∞-ga või ainult –∞-ga, ning järjestusisomorfsed järjestatud hulgad, näiteks poollõigud reaalsirgel.
• Pikk sirge.
• Hulk I × I (kus × märgib otsekorrutist ja I = [0, 1]) leksikograafilises järjestuses on lineaarne kontiinuum. Tõepoolest, järjestuse tihedus on ilmne. Supreemumiomaduse kontrollimiseks defineerime kujutuse π₁: I × I → I järgmiselt: π₁ (x, y) = x. See on (I × I korrutistopoloogia suhtes) pidev sürjektiivne kujutus. Olgu A järjestatud hulga I × I alamhulk, millel on ülemtõke. Siis ka hulgal π₁(A) peab olema ülemtõke. Et π₁(A) on I alamhulk ning järjestatud hulgal I on supreemumiomadus, siis hulgal π₁(A) peab olema ülemraja. Tähistame selle b.